Η κρίση στα μαθηματικά

​            Από τα σχολικά μας χρόνια διδασκόμαστε να βλέπουμε τα μαθηματικά, με τις αυταπόδειχτες αξιωματικές τους ”αλήθειες” και την αυστηρή λογική τους συμπερασματολογία, σαν την τελευταία λέξη στην επιστημονική ακρίβεια. Το 1900 όλα αυτά έδειχναν βέβαια και ακλόνητα παρά το ότι στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών που πραγματοποιήθηκε εκείνη τη χρονιά, ο David Hilbert, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς τού περασμένου αιώνα, έθεσε 23 σημαντικά άλυτα προβλήματα, κάποια από τα οποία αφορούσαν την θεμελίωση της ίδιας της μαθηματικής επιστήμης. Από τότε τα πράγματα έχουν με σταθερό ρυθμό περιπλακεί στο σημείο τού να μπορούμε να μιλάμε για αληθινή κρίση στα θεωρητικά μαθηματικά. ​            Όλα ξεκίνησαν με τις παράξενες και εξωτικές άλγεβρες και γεωμετρίες, δημιουργήματα των αρχών τού 19ου αιώνα, οι οποίες ανάγκασαν τους μαθηματικούς να συνειδητοποιήσουν με απροθυμία ότι τόσο τα ίδια τα μαθηματικά, όσο και οι μαθηματικές αρχές τής επιστήμης δεν είναι ”αλήθειες”. Για παράδειγμα, αντιλήφθηκαν ότι πολλές διαφορετικές γεωμετρίες είναι δυνατόν να μοντελοποιούν το ίδιο καλά την αντίληψη που έχουμε για τον χώρο. Δεν θα μπορούσε επομένως όλες αυτές οι γεωμετρίες να είναι ”αληθινές”. Φαίνεται ότι ένας μαθηματικός σχεδιασμός δεν είναι εγγενής στη φύση, ή αν είναι, τα ανθρώπινα μαθηματικά δεν τον περιγράφουν. Το κλειδί για την πραγματικότητα είχε χαθεί. Η συνειδητοποίηση από τους μαθηματικούς ότι τα μαθηματικά δεν ήταν ένα σώμα από αλήθειες κλόνισε την εμπιστοσύνη στο ίδιο το δημιούργημά τους. Ξεκίνησαν έτσι να το επανεξετάζουν. Με τρόμο διαπίστωναν ότι η λογική του ήταν προβληματική. ​            Στις αρχές τού 20ου αιώνα άρχισαν την προσπάθεια να επιλύσουν αυτά  προβλήματα και να αποδεχτούν την συνύπαρξη πολλών διαφορετικών λογικά συνεπών θεωριών. Λίγο πριν τον 1ο παγκόσμιο πόλεμο πίστευαν ότι είχαν πετύχει το στόχο τους. Παρά το ότι συμβιβάζονταν με την ιδέα ότι τα μαθηματικά είναι μια κατά προσέγγιση περιγραφή τής φυσικής πραγματικότητας, δεν θεωρούσαν ότι η λογική δομή τους έχρηζε αναθεώρησης. Πριν όμως προλάβουν να θριαμβολογήσουν, ανακαλύφθηκαν αντιφάσεις, οι οποίες κατ’ ευφημισμό ονομάστηκαν ”παράδοξα”, σε μια ασύνειδη προσπάθεια να υποτιμηθεί το γεγονός ότι το πρόβλημα βρισκόταν στα θεμέλια. Το πιο διάσημο από αυτά είναι το λεγόμενο ”παράδοξο τού Russell”: Θεωρήστε το σύνολο όλων των αντικειμένων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους. Τότε το σύνολο αυτό ανήκει στον εαυτό του αν και μόνο αν δεν ανήκει! Η διευθέτηση των αντιφάσεων ξεκίνησε άμεσα από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και φιλόσοφους της εποχής, οι οποίοι συνέλαβαν τέσσερις διαφορετικές προσεγγίσεις, τέσσερις διαφορετικές ”σχολές”. Οι σχολές αυτές όχι μόνο επιχείρησαν να άρουν τις υπάρχουσες αντιφάσεις, αλλά και να εξασφαλίσουν ότι δεν θα προκύψουν καινούργιες. Επιχείρησαν δηλαδή να εδραιώσουν τη συνέπεια των μαθηματικών σαν σύνολο. Στην αρχή φάνηκε να υπάρχει επιτυχία.  Στην πορεία όμως ανέκυψαν νέα σοβαρά ζητήματα. Η αποδοχή ή όχι αξιωμάτων και αρχών της ίδιας της συμπερασματικής λογικής έγινε αντικείμενο διαφωνιών ανάμεσα στις σχολές. Η προσπάθεια δηλαδή να διασωθούν  τα μαθηματικά από αντιφάσεις οδήγησε σε νέες ανυπέρβλητες αντιφάσεις. Το τελειωτικό χτύπημα δόθηκε από τον Kurt Gődel το 1930. Μέχρι τότε οι μαθηματικοί είχαν καταφέρει να αποδέχονται τη μια ή την άλλη από τις διάφορες αξιωματικές θεμελιώσεις της επιστήμης τους και τουλάχιστον ήταν ικανοποιημένοι ότι ήταν συνεπείς εντός των ορίων της σχολής τού καθενός. Τότε επήλθε η καταστροφή. Ο Gődel απέδειξε, μεταξύ άλλων, ότι στα πλαίσια ενός αξιωματικού συστήματος είναι αδύνατο να αποδειχτεί ότι το σύστημα δεν θα οδηγήσει σε αντιφάσεις. Με απλά λόγια αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατο να αποκλείσουμε ότι κάποια μέρα κάποιος θα αποδείξει ότι 2=3! Αυτό οδήγησε σε αμφισβήτηση της ορθότητας της ίδιας τις ανθρώπινης λογικής και σε ακόμα μεγαλύτερη διάσπαση των μαθηματικών σε σχολές. ​            Ας δούμε κάποιες από αυτές για να καταδείξουμε τον βαθύ διχασμό. Υπάρχουν οι Πλατωνιστές οι οποίοι θεωρούν τα μαθηματικά την απόλυτη αλήθεια: ”Ο Θεός είναι μαθηματικός!”. Έχουμε μετά τους Κονσεπτουαλιστές οι οποίοι πιστεύουν ότι τα μαθηματικά δεν έχουν απολύτως καμία αντικειμενική βάση, αλλά είναι ένα σύνολο από δομές και συμμετρίες τις οποίες έχει εφεύρει ο ανθρώπινος νους και οι οποίες υπάρχουν για τους δικούς τους σκοπούς. Έπειτα έχουμε την Φορμαλιστική σχολή η οποία ιδρύθηκε από τον ίδιο τον Hilbert. Αυτή βλέπει τα μαθηματικά σαν τίποτα περισσότερο από χειρισμό συμβόλων σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες και με μοναδικό σκοπό την παραγωγή ταυτολογικών προτάσεων, οι οποίες έχουν εσωτερική συνέπεια αλλά κατά τα άλλα κανένα απολύτως νόημα. Εδώ τα μαθηματικά υποβαθμίζονται σ’ ένα διανοητικό παιχνίδι όπως το σκάκι. Τέλος υπάρχουν οι Ιντουισιονιστές σύμφωνα με τους οποίους ένας μαθηματικός τύπος δεν αντιπροσωπεύει απολύτως τίποτα εκτός από την ίδια την διαδικασία εξαγωγής του. ​            Αυτή είναι η μάλλον θλιβερή εικόνα που παρουσιάζει, σε φιλοσοφικό επίπεδο, η ”βασίλισσα των επιστημών”. Τι συμπέρασμα μπορεί να εξάγει κανείς από όλα αυτά; Στην εποχή μας τα εκθαμβωτικά επιτεύγματα της τεχνολογίας έχουν οδηγήσει σε απόλυτη αποθέωση των θετικών επιστημών. Ο μέσος άνθρωπος τείνει να πιστεύει ότι τα πάντα στο σύμπαν έχουν ερμηνευθεί και ότι η πλήρης κατανόηση της πραγματικότητας είναι απλά θέμα χρόνου. Τίποτα δεν θα μπορούσε να είναι περισσότερο αφελές και ταυτόχρονα αλαζονικό. Το σύνολο των θετικών επιστημών θεμελιώνεται και εξαρτάται από τα μαθηματικά, τα οποία όπως είδαμε κυριολεκτικά αιωρούνται στο κενό. Ακόμα και το ”1+1=2” θα μπορούσε να αμφισβητηθεί. Η εγγενής λογική ανεπάρκεια των μαθηματικών καθιστά ανεπαρκή την επιστήμη. Ανεπαρκή πέρα από κάθε θεραπεία. Και μια τέτοια επιστήμη καθιστά ανεπαρκή τον άνθρωπο που την αποθεώνει. Προφανώς δεν πρέπει να απαρνηθούμε την επιστήμη. Αυτό θα ήταν μεσαιωνική οπισθοδρόμηση. Πρέπει να την τοποθετήσουμε στην αληθινή της θέση: υπηρέτης και όχι κύριος τού ανθρώπου.

Θέμης Μίτσης  Μαθηματικός